[Linear Algebra] Applications of Determinants

determinant의 응용에 대해 다룬다.

determinant를 이용한 inverse matrix의 계산

determinant는 cofactor matrix로 계산될 수 있다.

먼저 각 entry가 $a,b,c,d$인 $2 \times 2$ matrix $A$의 inverse matrix $A^-1$를 생각해 보자.

먼저 포착할 수 있는 사실은, denominator가 $A$의 determinant라는 점이다. 그럼 그 뒤의 matrix는 뭘까?

뒤의 matrix는 original matrix $A$의 각 entry의 cofactor다. 예를 들어, $(1,1)$의 $a$의 cofactor는 $d$이고, 이게 $(1,1)$ position에 들어가 있다. $(1,2)$의 $b$의 cofactor인 $-c$는 $(2,1)$의 위치에 들어가 있음을 알 수 있다.

따라서 이를 정리한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.

이때 $C^T$는 각 entry의 cofactor를 구한 뒤에 transpose한 것이다. 이 등식이 성립함은 $AC^T = (\det A) I$ 임을 보이면 된다.

위와 같이 전개된다. 그럼 왜 off-diagonal term은 모두 0일까?

그건 entry의 position이 맞지 않는 cofactor와 $A$의 entry가 곱해졌을 경우, 중복되는 row가 있는 matrix의 determinant가 되기 때문이다.

예를 들어 $AC^T$의 $(1,2)$ position을 보면, 다음과 같이 계산된다.

즉, $AC^T$의 한 entry는 어떤 새로운 matrix의 determinant로 볼 수 있다. 이때 $A$가 그 matrix의 첫 번째 row고 나머지가 cofactor라고 하면, 항상 중복되는 row가 2개 생기게 되므로 determinant값은 0이 된다.

Cramer's Rule

Cremer's rule은 $Ax=b$에서 $x$의 한 component를 두 determinant의 ratio로 나타내는 방법이다. 즉,

이다.

이는 직접 계산해 보면 쉽게 알 수 있는데, 이렇게 $B_j$를 정의했을 때 $\det B_j$가 위에서 유도한 $C^T b$의 $j$번째 component와 같기 때문이다.

하지만 계산해보면 알겠지만 $x$를 구할 때 매번 새로운 matrix를 만들어서, 그 matrix의 determinant를 구해주는 과정을 반복해야 한다. 만약 $x$의 dimension이 $k$라면, $\det A$를 포함해서 $k+1$개의 matrix의 determinant를 구해야 하므로 계산량이 많은 번거로운 방법이다.

Determinant로 box의 부피 구하기

이전에 언급한 적이 있는 방법이다. 요지는, $n$ dimensional space에서 $n \times n$ matrix $A$의 각 row를 한 edge로 하는 box가 있을 때, 그 box의 volume은 $\det A$와 같다는 사실이다.

위와 같은 그림에서 파란색으로 표시된 화살표가 각 row vector라고 했을 때, 노랗게 표시된 도형의 volume은 $\det A$이다.

이는 다양하게 응용될 수 있다.

2 dimensional space의 평행사변형은 부피를 구하려면 width와 height를 알아야 하는데, width는 비교적 간단히 구할 수 있지만 height를 구하는 것은 복잡하다.

이때 간단하게 $\det A = ad-bc$로 넓이를 구할 수 있다.

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References

• Gilbert Strang. 18.06 Linear Algebra. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
• Strang, G. (2012). Linear algebra and its applications. Thomson Brooks/Cole.

 

Footnotes