[Linear Algebra] Determinant Formulas and Cofactors

 

Formulas for the Determinant

determinant에 대한 formula를 만들어 보자. 먼저 $2\times 2$ 사이즈의 matrix부터 확인한다.

따라서 $2 \times 2$ matrix의 determinant는 ad-bc임을 보일 수 있다.

비슷한 방법으로 $ 3 \times 3$ matrix의 determinant formula도 구할 수 있다.

이때 어차피 같은 column에 0이 두 번 이상 나오면 singular하므로 0이 되어 사라지므로, 모든 row와 모든 column이 각 한 번씩만 나와야 한다. 이렇게 하면 각 row에서 하나의 column을 정하고, 두 번째 row가 $n-1$개의 column 중 하나를 정하는 식의 형태가 반복된다. 즉, permutation의 형태를 띠게 된다. 따라서 $n \times n$ matrix의 determinant의 항의 개수는 $n!$개라는 것을 알 수 있다. 이때 각 항의 부호는 permutation matrix가 identity matrix에서 만들어질 때 row exchange 횟수가 odd냐 even이냐에 따라서 결정된다.

또 한 가지 눈여겨 볼 점은, 부호가 positive인 항들과 negative인 항들 간에 독특한 위치 구조가 나타난다는 점이다. 다음을 보자.

위의 식에서 부호가 positive인 항들은 파란색으로, negative인 항들은 붉은색으로 표시했다. positive인 항들은 우측 하단으로 내려가는 대각선의 형태로 세 번 나타나는 것을 알 수 있고, negative인 항들은 좌측 하단으로 내려가는 대각선의 형태로 역시 세 번 나타나는 것을 알 수 있다.

하지만 꼭 cross diagonal이 negative인 것은 아니다. 예를 들어 $4 \times 4$ matrix에서는 cross diagonal의 경우 row1과 row4, row2와 row3을 총 2번 exchange하면 되므로 positive한 sign이다.

따라서 임의의 matrix의 determinant는 다음과 같은 formula로 나타낼 수 있다.

$$\det A = \sum_{\text{all permutation}} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n \omega}$$

이때 총 term의 개수는 $n!$이고, $(\alpha,\beta,\gamma,\cdots \omega)$는 permutation of $(1,2,3\cdots ,n)$이다.

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Cofactor

위의 formula는 만약 row1에서 col1을 선택했다면 나머지 row들이 $(2,3,...n)$의 column을 가지고 permutation을 하게 된다. 이 permutation으로 나타나는 term들을 하나의 coefficient term $C_{11}$로 묶으면 다음과 같다.
$$C_{11} = \sum (a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} \det P) = \det (\text{submatrix of }A)$$

이 coefficient term을 cofactor라고 한다.

그럼 전체 matrix를 cofactor와 한 row의 entry들을 가지고 나타낼 수 있다. $n \times n$ matrix $A$가 있다고 하자. 이때 $A$의 determinant는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\det A = a_{11}C_{11} +a_{12}C_{12}+\cdots + a_{1n}C_{1n}$$

예를 들어 우리가 위에서 구했던 $3\times 3$ matrix의 경우에는 다음과 같이 나타낼 수 있을 것이다.

$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

그럼 이 cofactor는 어떻게 구할까? 나머지 entry들의 permutation, 즉 submatrix의 determinant와 적절한 부호를 곱한 값일 것이다. 이때의 submatrix는 original matrix에서 $a_{ij}$일때 row $i$와 column $j$가 제거된 submatrix이다.

또한 부호는 $i+j$가 even이면 positive, odd면 negative한 sign을 갖는다.

이를 정리하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

Cofactor of $a_{ij}$
$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}$

이러한 공식은 column 방향으로도 적용할 수 있는데, 저번에 살펴보았듯이 $\det A = \det A^T$이기 때문이다. 따라서 굳이 한 row를 기준으로 cofactor를 곱해서 determinant를 구할 필요 없이, 한 column을 기준으로 term들에 cofactor를 곱해서 구해도 같은 결과를 얻을 수 있다.

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References

• Gilbert Strang. 18.06 Linear Algebra. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
• Strang, G. (2012). Linear algebra and its applications. Thomson Brooks/Cole.

 

Footnotes