[Linear Algebra] Determinant

 

 

Determinants

determinant는 matrix의 항들로 구성된 scalar 값을 가지는 function이다.

1. $\det A \neq 0$이면 matrix $A$는 invertible하고, $\det A = 0$ 이면 matrix $A$는 singular하다.

2. $A$의 determinant는 n-dimensional space에서의 $A$의 부피 값과 같다.

 

3. determinant는 pivot의 곱으로 이루어져 있다. 이때 sign은 달라질 수 있다.

 

이 말인 즉슨, row elimination의 순서와 상관 없이 pivot의 곱은 항상 일정하다는 뜻이다.

중요한 점은 determinant가 matrix에 대한 많은 특징들을 explicit한 공식으로 가지고 있는 것이 아니라, 그 스스로 가지고 있는 특성들이라는 것이다.

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Properties of the Determinants

determinant의 10개의 properties를 알아본다. 처음 3개의 properties를 가지고 나머지 properties는 유도될 수 있다.

1. $\det I = 0$

2. row exchange는 determinant의 sign을 바꾼다.
따라서 identity matrix의 row exchange를 통해서 만들어지는 permutation matrix들은, row exchange의 row exchange의 횟수에 따라서 1이냐 -1냐를 determine할 수 있다. 즉, even인 횟수로 row exchange를 했으면 1이고, odd인 횟수로 row exchange를 했으면 -1이다.

3a. 한 row에 곱해진 constant들은 밖으로 꺼낼 수 있다.

3b. 한 row에 더해진 constant들은 밖으로 꺼낼 수 있다.

단, 이는 row의 linearity에 대해서만 말하고 있는 것이지, determinant의 linearity에 대해서 말하고 있는 것은 아니다. 즉, $\det (B+C) = \det B + \det C$나 $\det (tA) = t \det A$는 사실이 아니므로 착각해서는 안 된다.

4. 같은 row가 2개 이상 있으면 determinant는 0이다.
이는 2에 의해서 유도될 수 있다. 같은 2개의 row를 exchange했을 때 sign은 바뀌어야 하지만, 동시에 같은 matrix이므로 determinant의 값이 동일해야 한다. sign이 바뀌어도 값이 동일할 수 있는 값은 0이 유일하므로, determinant는 0일 수 밖에 없다.

5. 임의의 row $i$에 $l$를 곱한 값을 임의의 row $k$에서 빼도, determinant는 바뀌지 않는다.

6. 0으로 이루어진 row가 있으면 그 matrix의 determinant는 0이다.

7. upper triangular matrix $U$의 deteminant는 pivot들의 곱이다.

8. matrix $A$가 singular이면 $\det A$는 0이다. matrix $A$가 invertible이면 $\det A \neq 0$이다.

 

이를 7과 엮어서 생각해보면 재밌는 결과를 얻을 수 있다.

 

만약 임의의 matrix $A$가 singular하면, determinant는 0이다. $A$가 nonsingular하다면, row exchange와 row reduction으로 upper triangular matrix $U$로 만들 수 있다. 이때 $U$의 값은 product of pivots이다. 따라서 다음 공식이 성립한다.

Products of Pivots
$\det A = \pm \det U = \pm d_1 d_2 d_3 \cdots d_n$

이때 부호는 row exchange가 이루어진 횟수가 odd이냐 even이냐에 따라 결정된다.

9. $\det AB = (\det A)(\det B)$이다.

10. $\det A^T = \det A$이다.

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References

• Gilbert Strang. 18.06 Linear Algebra. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
• Strang, G. (2012). Linear algebra and its applications. Thomson Brooks/Cole.

 

Footnotes