Taylor series는 함수를 한 점에서의 derivatives들의 무한 개의 항의 합으로 근사하는 방법이다. 일반적으로 이 점에서 두taylor function과 원래 함수는 어느 정도 근사한다.
유도
테일러 함수는 미적분의 기본 정리로부터 간단히 유도할 수 있다.
먼저 미적분의 기본정리 식을 f(x)에 대해 정리하고, f'(t)의 정적분항을 1과 f'(t)로 부분적분한다.
이때 적분상수는 C로 둔다.
적분상수를 -x로 대입하고, 뒤 정적분식을 다시 부분적분하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
이러한 과정을 반복하면 다음과 같다.
이를 간단하게 쓰면 다음과 같다.
이를 테일러 급수(Taylor series)라고 한다.
또한 a=0인 특수한 경우에 식은 다음과 같이 표현되는데,
이러한 형태를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 한다.
일반적인 경우, 모든 급수를 이용하여 식을 근사하는 것은 비효율적이므로
보통 3차항 내외까지의 항만을 사용하여 근사하기도 한다.
이러한 경우 Taylor polynomial이라고 한다.